Ковариация

Ковариа́ция (корреляционный момент, ковариационный момент) в теории вероятностей и математической статистике — мера линейной зависимости двух случайных величин. Численно равна математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин от их средних значений.

Если имеются две случайные величины \(x\) и \(y\) с известными мат.ожиданиями \(m_x = \mathbb{M}x\) и \(m_y = \mathbb{M}y\), то ковариация определяется по формуле

\[K_{xy} = \textsf{cov}(x, y) = \mathbb{M} \left( (x - m_x) \cdot (y - m_y) \right) = \mathbb{M}(x y) - m_x m_y ,\]

где \(\mathbb{M}\) — мат.ожидание.

Если случайный величины \(x\) и \(y\) являются независимыми, то их коэффициент корреляции равен нулю. Обратное утверждение в общем случае не верно: из равенства ковариации нулю ещё не следует независимость случайных величин.

Случайные величины, имеющие нулевую ковариацию, называются некоррелированными. Независимые случайные величины всегда некоррелированы (но не наоборот).

Ковариация случайной величины с самой собой равна дисперсии:

\[K_{xx} = \mathbb{M} \left( (x - m_x)^2 \right) = D_x = \sigma_x^2 .\]

Ковариация симметрична:

\[\textsf{cov}(x, y) = \textsf{cov}(y, x) .\]

Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения второй имеют тенденцию возрастать, а если отрицательна — то убывать.

По абсолютному значению ковариации нельзя судить о том, насколько сильно взаимосвязаны случайные величины, так как её масштаб зависит от их дисперсий. Масштаб можно отнормировать, поделив значение ковариации на произведение среднеквадратических отклонений (квадратных корней из дисперсий). При этом получается так называемый коэффициент корреляции, который всегда находится в интервале от −1 до 1:

\[k_{xy} = \frac{K_{yx}}{\sigma_x \sigma_y} .\]

Ковариационной матрицей случайного вектора \(\mathbf{x}\) называют матрицу \(\mathbf{K}_\mathbf{x}\), элементы которой равны попарным ковариациям компонентов этого вектора:

\[K_{ij} = \textsf{cov} (x_i , x_j) .\]

Взаимной ковариационной матрицей двух случайных векторов \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) называют матрицу \(\mathbf{K}_\mathbf{xy}\), элементы которой равны попарным ковариациям компонентов этих векторов:

\[K_{ij} = \textsf{cov} (x_i , y_j) .\]

(продолжение следует...)



Комментарии

Комментариев пока нет.

* Обязательные поля
(Не публикуется)
 
Жирный Курсив Подчеркнутый Перечеркнутый Степень Индекс Код PHP Код Кавычки Вставить линию Вставить маркированный список Вставить нумерованный список Вставить ссылку Вставить e-mail Вставить изображение Вставить видео
 
Улыбка Печаль Удивление Смех Злость Язык Возмущение Ухмылка Подмигнуть Испуг Круто Скука Смущение Несерьёзно Шокирован
 
1000
Captcha
Refresh
 
Введите код:
 
Запомнить информацию введенную в поля формы.