Основные параметры случайных величин

Математи́ческое ожида́ние – среднее значение случайной величины. Для дискретной случайной величины, имеющей известное распределение \(p_i \; (i=1,\ldots , n)\,\), мат.ожидание вычисляется по формуле:

\[\mathbb{M}x = \sum_{i=1}^{n}{x_i p_i}.\]

Для непрерыной сл.величины с известным распределением плотности вероятности \(p(x)\):

\[\mathbb{M}x = \int_{-\infty}^{\infty}{x\, p(x)\, dx}.\]

Диспе́рсия – мера разброса случайной величины, т.е. её отклонения от математического ожидания. Вычисляется как мат.ожидание квадрата разности случайной величины и её мат.ожидания:

\[\mathbb{D}x = \mathbb{M} \left( x - \mathbb{M} x \right)^2 = \mathbb{M}(x^2) - (\mathbb{M} x)^2 .\]

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние (стандартное отклонение) – это квадратный корень из дисперсии:

\[\sigma = \sqrt{\mathbb{D}x }.\]

Мо́да – значение сл.величины, которое встречается наиболее часто; другими словами, это максимум плотности распределения. Сл.величина называется мультимодальной, если она имеет несколько мод (т.е. несколько максимумов плотности распределения).

Медиа́на – это значение, которое делит ранжированную (упорядоченную в порядке возрастания) выборку сл.величины на две равные части.

Пример 1: Дано пять чисел: \(2, 10, 2, 7, 5\). Упорядочим их по неубыванию: \(2, 2, 5, 7, 10\). Посередине (на третьем месте) стоит число \(5\), оно и будет медианой, т.к. делит выборку на две равные группы: слева два числа, по значению меньшие пяти, справа – два числа, которые больше пяти. Заметим, что в данном случае медиана не равна выборочному среднему \((2+2+5+7+10)/5 = 5.2\).

Пример 2: Дано четыре числа: \(5, 10, 7, 2\). Упорядочим их по неубыванию: \(2, 5, 7, 10\). Т.к. размер выборки чётный, то имеем два числа, стоящих посередине: \(5\) и \(7\). В качестве медианы берём их среднее арифметическое: \((5+7)/2 = 6\). Заметим, что в данном случае медиана совпадает с выборочным средним \((2+5+7+10)/4 = 6\).

Кванти́ль – это значение, которое случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Например, медиана – это \(0.5\)-квантиль. Если задана простая выборка размером \(n\), то для нахождения выборочного \(\alpha\)-квантиля надо упорядочить элементы выборки по неубыванию (т.е. получить вариационный ряд) и взять элемент получившегося ряда с номером \([n \alpha]\) (здесь квадратные скобки обозначают взятие целой части числа; члены ряда нумеруются с нуля). Например, если заданы целые числа от \(0\) до \(20\), то \(0.1\)-квантиль равен двум. Иногда вместо отбрасывания дробной части используют аппроксимацию двух соседних членов вариационного ряда, поэтому \(0.1\)-квантиль для выборки, состоящей из целых чисел от \(0\) до \(15\), равен \(1.5\)

\(k\)начальный момент случайной величины – это мат.ожидание её \(k\)-й степени:

\[\nu_k = \mathbb{M}\left( (x)^k \right) .\]

Первый начальный момент – это мат.ожидание случайной величины.

\(k\)центральный момент случайной величины – это мат.ожидание \(k\)-й степени отклонения от мат.ожидания:

\[\mu_k = \mathbb{M}\left( \left(x - \mathbb{M} x \right)^k\right) .\]

Второй центральный момент – это дисперсия случайной величины.

Коэффицие́нт асимметри́и – это нормированный третий центральный момент:

\[\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}.\]

Коэффицие́нт эксце́сса (коэффициент островершинности) – это мера остроты пика распределения случайной величины:

\[\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 .\]

(продолжение следует...)



Комментарии

Комментариев пока нет.

* Обязательные поля
(Не публикуется)
 
Жирный Курсив Подчеркнутый Перечеркнутый Степень Индекс Код PHP Код Кавычки Вставить линию Вставить маркированный список Вставить нумерованный список Вставить ссылку Вставить e-mail Вставить изображение Вставить видео
 
Улыбка Печаль Удивление Смех Злость Язык Возмущение Ухмылка Подмигнуть Испуг Круто Скука Смущение Несерьёзно Шокирован
 
1000
Captcha
Refresh
 
Введите код:
 
Запомнить информацию введенную в поля формы.