Скользящие средние

Скользя́щая сре́дняя (скользя́щее сре́днее; moving average, MA) — трендовый технический индикатор, который показывает усреднённую (в том или ином смысле) цену финансового инструмента за некоторый промежуток времени. Термин скользящая средняя означает, что набор усредняемых значений непрерывно движется (“скользит”) во времени. Скользящая средняя отражает тенденцию изменения цен и сглаживает их несущественные колебания.

Это самый известный из технических индикаторов, но в печати постоянно появляются статьи о новых способах вычисления и новых модификациях скользящих средних. Среди победителей чемпионатов по автоматизированной торговле первые места часто занимают торговые роботы на основе скользящих средних.

Простая скользящая средняя (SMA)

Простая скользящая средняя (Simple Moving Average, SMA) вычисляет арифметическое среднее цен финансового инструмента, учитывая только заданное число (\(n\)) последних баров (свечей):

\[\text{SMA}_t (n) = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}{p_{t-i}} = \frac{p_{t} + p_{t-1} + p_{t-2} +\ldots + p_{t-n+1}}{n} .\]

Здесь \(p_t\) — цена того бара, для которого вычисляется значение скользящей средней; \(p_{t-1}\) — цена на предыдущем баре и т.д.

В качестве \(p_t\) обычно берётся цена закрытия (Close) каждого бара (свечи), но могут использоваться любые другие параметры:

  • цена открытия Open;
  • максимальная цена High;
  • минимальная цена Low;
  • медианная цена (High+Low)/2, т.е. средняя точка, равноудалённая от минимума и максимума бара (median price);
  • “типичная” цена (High + Low + Close)/3 (typical price);
  • взвешенная цена (High + Low + 2∙Close)/4 (weighted price);
  • значение любого другого технического индикатора.

Теперь рассмотрим пример вычисления простой скользящей средней SMA(5) по ценам закрытия часового графика (таймфрейм H1, рис.1, на оси абсцисс показано время закрытия каждой свечи). Для определённости положим, что сейчас 10:15, т.е. последняя свеча на графике соответствует отметке времени 10:00. Для этого мы возьмём текущую цену закрытия \(\text{Close}_t\) последней свечи (она на самом деле пока не закрылась, т.к. час ещё не закончился) и цены закрытия четырёх предыдущих свечей: \(\text{Close}_{t-1}\), \(\text{Close}_{t-2}\), \(\text{Close}_{t-3}\) и \(\text{Close}_{t-4}\) (соответствующие отметкам времени 9:00, 8:00, 7:00 и 6:00), сложим все эти пять значений и разделим на 5. До 11:00, пока час не закончился, значение \(\text{Close}_t\) изменяется с приходом каждой новой котировки, в результате значение SMA также непостоянно. Но с началом следующего часа (начиная с 11:00), после закрытия \(t\)-й свечи величина \(\text{Close}_t\) и значение SMA(5) для отметки времени 10:00 зафиксируются навсегда.

../_images/SMA-01.png

Рис. 1. Пример вычисления SMA(5) на часовом графике

Чтобы вычислить SMA(5) для следующего часа (отметка времени 11:00), мы возьмём текущую цену закрытия (11:00) и цены закрытия предыдущих свечей с 7:00 до 10:00, сложим их и снова разделим на 5.

Таким образом, “временно́е окно” шириной в 5 свечей, определяющее диапазон усреднения, будет “скользить” с течением времени слева направо. Чем больше ширина этого окна (период усреднения \(n\)), тем сильнее сглаживаются (фильтруются) колебания цен. В пределе при очень большом \(n\) скользящая средняя SMA превратится в горизонтальную прямую линию, высота которой будет пренебрежимо мало меняться с приходом каждой следующей котировки. Пользы от такой линии будет не слишком много, разве что нас заинтересует среднее значение цены со дня ввода валюты в обращение. Наоборот, при минимальном периоде (\(n=1\)) скользящая средняя вообще перестанет что-либо усреднять; для любой свечи её значение окажется равным рассматриваемому параметру этой свечи, т.е. мы получим обычный график, построенный, например, по ценам закрытия.

Отметим, что для первых \(n-1\) свечей (баров) на графике значение скользящей средней не определено; линия индикатора начинает рисоваться с \(n\)-й свечи.

Чем сильнее мы сглаживаем колебания цены (т.е. чем больше значение \(n\)), тем с большей задержкой реагирует средняя линия на каждое резкое изменение котировки. На рис.2 для примера показан график цен закрытия и две простые скользящие средние SMA(5) и SMA(10). Рассмотрим гипотетическую ситуацию, когда цена некоторого инструмента долгое время оставалась равной 1.0000, а в некоторый момент времени (соответствующий 11-й свече на рис.2) скачком выросла до 1.1000 (т.е. на 1000 пунктов). Линии обеих SMA до 10-й свечи включительно, очевидно, совпадали с графиком цены (поскольку среднее арифметическое нескольких одинаковых значений равно каждому из них). Начиная с 11-й свечи, на которой произошёл скачок цены, средние линии начинают линейно возрастать: наклон SMA(5) круче, чем наклон SMA(10). К 15-й свече средняя SMA(5) достигла нового устоявшегося значения цены, а SMA(10) сделала это только на 20-й свече. Важный вывод: простая средняя даёт задержку на (\(n-1\)) свечей.

../_images/SMA-02.png

Рис. 2. Реакция SMA на мгновенный скачок цены

Другой пример (рис.3): пусть цена, долгое время остававшаяся постоянной, стала расти по линейному закону, начиная с 11-й свечи, и закончила свой рост на 15-й свече. Как будут вести себя средние линии? SMA(5) приняла устоявшееся значение на 19-й свече, а SMA(10) — на 24-й. Снова получили задержку на \(n-1\).

../_images/SMA-03.png

Рис. 3. Реакция SMA на линейный скачок цены

Третий пример (рис.4): с 11-й свечи начался и продолжается до сих пор линейный рост цены. Рассмотрим любое мгновенное значение, например, 17-ю свечу, с ценой закрытия 1.1400. Средняя SMA(5) достигла этого значения только на 19-й свече, с задержкой на 2 интервала. Задержка для SMA(10) составила 4.5 интервала. Таким образом, на линейный рост цены простые средние реагируют с задержкой \((n-1)/2\).

../_images/SMA-04.png

Рис. 4. Реакция SMA на линейный рост цены

Иногда скользящую среднюю линию смещают по вертикали и/или горизонтали. Вертикальное смещение, как правило, выражают в процентах или долях от исходного значения SMA. Другими словами, умножают SMA на коэффициент \((1+a)\), где \(a\) может изменяться от -1 до 1 (от -100% до 100%). Положительное значение \(a\) соответствует смещению линии индикатора вверх, а отрицательное — вниз.

Чтобы сместить линию на графике вправо (в будущее), для вычисления \(t\)-го значения SMA берут бары с \((t-b)\) по \((t-b-n+1)\) включительно. Например, при \(b=3\) величина SMA(5) для свечи 15:00 (на часовом графике) складывается из цен закрытия свечей с отметками времени 12:00, 11:00,..., 8:00.

При отрицательном \(b\) линия индикатора смещается влево (в прошлое). Например, при \(b=-2\) величина SMA(5) для свечи 10:00 (на часовом графике) складывается из цен закрытия свечей с отметками времени 12:00, 11:00,..., 8:00.

С учётом смещения по вертикали и горизонтали формула для SMA принимает вид:

\[\text{SMA}_t (n, a, b) = \frac{1+a}{n}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}{x_{t-b-i}} = \frac{1+a}{n}\cdot (x_{t-b} + x_{t-b-1} + \ldots + x_{t-b-n+1}) .\]

Взвешенная скользящая средняя (WMA)

В формуле для простой скользящей средней цены закрытия всех \(n\) свечей входят с одинаковым весом \(1/n\), т.е. изменение цены предпредпредпоследней, к примеру, свечи на десять пунктов отразится на величине SMA так же, как и изменение цены закрытия последней свечи на те же самые 10 пунктов. При небольших значениях \(n\) это не доставляет затруднений, но если, например, на часовых графиках \(n=100\), то многим покажется несколько надуманным тот факт, что свеча, закрывшаяся 99 часов назад, влияет на текущее значение индикатора так же, как и последняя свеча.

Поэтому при больших периодах усреднения чаще используют такие правила вычисления средних, когда недавние цены оказывают на значение индикатора бо́льшее влияние, чем отдалённые. В самом общем случае:

\[\text{WMA}_t(n) = \frac{1}{W}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}{w_i p_{t-i}} = \frac{1}{W}\cdot (w_0 p_t + w_1 p_{t-1} + w_2 p_{t-2} + \ldots + w_{n-1} p_{t-n+1}),\]

где \(w_i\) — некоторые постоянные весовые коэффициенты, их количество равно периоду усреднения \(n\), а их сумма даёт знаменатель \(W\):

\[W = \sum_{i=0}^{n-1}{w_i} = w_0 + w_1 + \ldots + w_{n-1} .\]

При \(w_i = 1\) взвешенная скользящая средняя превращается в простую скользящую среднюю.

Взвешенную среднюю, как и простую, также иногда сдвигают по вертикали и горизонтали:

\[\text{WMA}_t (n, a, b) = \frac{1+a}{W}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}{w_i x_{t-b-i}} = \frac{1+a}{W}\cdot (w_0 x_{t-b} + w_1 x_{t-b-1} + \ldots + x_{t-b-n+1}) .\]

Разумеется, как и в случае SMA, для вычисления WMA можно использовать не только цены закрытия, но также любые другие параметры ценовых баров.

Линейно-взвешенная скользящая средняя (LWMA)

Для взвешенной скользящей средней \(\text{WMA}(n)\) часто используют весовые коэффициенты \(w_i = n-i\), в этом случае индикатор называется линейно-взвешенной скользящей средней (Linear-Weighted Moving Average, LWMA):

\[\text{LWMA}_t (n, a, b) = \frac{2\cdot(1+a)}{n(n+1)}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}{w_i x_{t-b-i}} = \frac{2\cdot(1+a)}{n(n+1)}\cdot \left(n x_{t-b} + (n-1) x_{t-b-1} + \ldots + x_{t-b-n+1}\right) .\]

Например, при \(n=3\); \(a=0\); \(b=0\) получаем:

\[\text{LWMA}_t (3) = \frac{3 x_t + 2 x_{t-1} + x_{t-2}}{6} .\]

Треугольная скользящая средняя (TMA, TriMA)

Треугольная скользящая средняя (Triangular Moving Average, TMA, TriMA) — это вариант взвешенной скользящей средней, весовые коэффициенты которой имеют вид треугольника. Например, для периода \(n=7\) используются веса 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 (делённые на сумму этих чисел, т.е. на 16). Таким образом, наибольший вес имеет цена на том баре, который попадает в середину окна усреднения; а веса всех остальных баров убывают линейно по мере удаления (в обе стороны) от этого среднего бара.

TMA лучше сглаживает ценовые колебания, чем LWMA, но имеет большее время задержки.

Треугольная скользящая средняя может быть вычислена как простая скользящая средняя (SMA), рассчитанная по значениям простой скользящей средней (SMA).

Для чётных значений периода \(n\):

\[\text{TMA}_t (n) = \text{SMA} \left( \text{SMA}(p, \frac{n}{2}+1), \frac{n}{2} \right) ,\]

т.е. простая скользящая средняя с периодом \(n/2\), построенная по значениям простой скользящей средней с периодом \((n/2)+1\), построенной по ценам закрытия баров (или по любым другим).

Для нечётных значений периода \(n\):

\[\text{TMA}_t (n) = \text{SMA} \left( \text{SMA}(p, \frac{n+1}{2}), \frac{n+1}{2} \right) ,\]

т.е. простая скользящая средняя с периодом \((n+1)/2\), построенная по значениям простой скользящей средней с периодом \((n+1)/2)\), построенной по ценам закрытия баров (или по любым другим).

Экспоненциальная скользящая средняя (EMA)

Экспоненциальная скользящая средняя (Exponential Moving Average, EMA) — это вариант взвешенной скользящей средней, она имеет бесконечный период усреднения \(n\) и весовые коэффициенты \(w_i\), быстро убывающие с ростом \(i\). Строго говоря, для точного вычисления EMA потребовалось бы просуммировать бесконечное количество значений (точнее, цены закрытия всех свечей с того дня, когда впервые был определён курс той или иной валюты). Но благодаря быстрому уменьшению величины коэффициентов, нет никакой необходимости суммировать их все, т.к. влияние отдалённых свечей на значения экспоненциальной средней пренебрежимо мало.

На практике для нахождения EMA применяют рекуррентную формулу, т.е. выражают очередное значение экспоненциальной средней \(\text{EMA}_t\) через её предыдущее значение \(\text{EMA}_{t-1}\)

\[\text{EMA}_t ( \alpha ) = \alpha \cdot p_t + (1 - \alpha)\cdot\text{EMA}_{t-1} .\]

Открыв скобки и перегруппировав слагаемые, можно записать эту формулу в другом виде:

\[\text{EMA}_t ( \alpha ) = \text{EMA}_{t-1} + \alpha \cdot \left( p_t - \text{EMA}_{t-1} \right) .\]

В величине \(\text{EMA}_{t-1}\) заложено влияние всех предыдущих цен. Чем больше весовой коэффициент \(\alpha\), тем бо́льший вес приобретает текущая цена \(p_i\) и тем меньше мы учитываем предыдущие цены. При \(\alpha = 0\) совсем не учитывается текущая свеча. При \(\alpha = 1\) мы игнорируем все предыдущие свечи.

Чтобы у всех средних сохранить единство обозначений, вместо параметра \(\alpha\) обычно вводят эффективный период \(n\), который связан с \(\alpha\) соотношением

\[\alpha = \frac{2}{ n + 1 } .\]

При \(n=1\) получаем \(\alpha = 1\), т.е. обычный график цен закрытия. C увеличением \(n\) значение \(\alpha\) уменьшается. В отличие от SMA, период экспоненциальной скользящей средней \(n\) не обязан быть целым числом.

Для расчёта самого первого значения EMA обычно рекомендуется использовать формулу для SMA с тем же периодом. Но иногда (как например, в штатном индикаторе программы MetaTrader) в качестве самого первого значения \(\text{EMA}_t\) просто берут цену закрытия \(t\)-й свечи.

Как и другие скользящие средние, EMA иногда смещают по вертикали и/или горизонтали, а вместо цен закрытия используют любые другие параметры свечей. В общем случае:

\[\text{EMA}_t (n, a, b) = (1+a)\cdot \left(\alpha\cdot p_{t-b} + (1-\alpha)\cdot \text{EMA}_{t-1}\right) .\]

На рис.5 показано, как реагирует EMA при \(n=5\) на скачок цены. Для сравнения там же показана SMA с тем же периодом. Видно, что экспоненциальная средняя быстрее реагирует на изменение цены, но дольше принимает новое установившееся значение.

../_images/EMA-01.png

Рис. 5. Сравнение реакции SMA(5) и EMA(5) на скачок цен

При увеличении периода \(n\) простая средняя практически не уступает экспоненциальной (рис.6).

../_images/EMA-02.png

Рис. 6. Сравнение реакции SMA(15) и EMA(15) на скачок цен

На линейный рост цены и простая, и экспоненциальная средняя даже при малых \(n\) реагируют практически одинаково (рис.7). Именно для этого была подобрана формула, связывающая эффективный период \(n\) и весовой коэффициент \(\alpha\).

../_images/EMA-03.png

Рис. 7. Сравнение реакции SMA(5) и EMA(5) на линейный рост цены

Итак, при малом периоде \(n\) (большом значении \(\alpha\)) экспоненциальная средняя быстрее следует за ценой (т.к. с бо́льшим весом учитывает последнюю свечу по сравнению с предыдущими), и поэтому быстрее реагирует на направленное движение цен, чем простая скользящая средняя с тем же периодом. Но EMA с большим периодом \(n\) (т.е. при малом \(\alpha\)) практически теряет это преимущество.

На рис.8 сравнивается поведение SMA(35), EMA(35) и LWMA(35) на 10-минутном графике EUR/USD (17 декабря 2009 года). EMA заметнее реагирует на изменения цены, чем SMA, но LWMA ещё более подвержена колебаниям цен. Значит ли это, что LWMA лучше? Нет, мы же ведь хотели отфильтровать случайные колебания цен. Тогда лучше SMA? Давайте посмотрим внимательнее. Часто пробитие ценой скользящей средней идентифицируется трейдерами как конец тренда (и, возможно, начало нового, в противоположном направлении). В 08:30 белая свеча закрылась выше SMA(35), что могло быть воспринято как сигнал на закрытие коротких позиций. Однако, на самом деле нисходящий тренд продолжился. По LWMA мы бы закрылись ещё раньше, в 06:50. Только ориентируясь на экспоненциальную среднюю, мы бы увеличили свою прибыль.

../_images/SMA-EMA-LWMA-01.png

Рис. 8. Сравнение SMA(35), EMA(35) и LWMA(35)

Получается, лучше применять EMA? Вряд ли можно однозначно ответить на этот вопрос. В рассмотренном примере это так. В других случаях может оказаться наоборот. Ответ зависит от текущей ситуации, торгуемого инструмента, набора конкретных параметров... Каждый трейдер должен сам, в результате кропотливого тестирования, выбирать параметры используемых им индикаторов. Должен быть готовым дисциплинированно придерживаться этого выбора, несмотря на случайные потери. И должен быть готовым отказаться от него, когда увидит, что рынок изменился и пора снова начинать с тестирования.

Считается, что если на некотором графике заметны циклы периодичностью \(M\) (часов, дней, недель,...), то наилучшим периодом усреднения будет \(n = 1 + M/2\). Например, если соседние пики/впадины цены расположены друг от друга на расстоянии 20 дней, то на дневных графиках (таймфрейм D1) лучше строить скользящие средние с периодом 11. При таком выборе ширины окна усреднения оно захватывает ровно половину свечей, составляющих один цикл цены. Единица в формуле учитывает, что число промежутков между \(n\) свечами равно \(n-1\).

Кроме того, не следует забывать, что́ именно мы усредняем и какой смысл имеет то или иное значение \(n\). Например, на 10-минутных графиках (таймфрейм M10) значение \(n\), равное 144, соответствует усреднению цен за сутки (144 — это 24 часа, умноженные на 6). А на 15-минутных графиках (таймфрейм M15) суткам будет соответствовать \(n=96\).

Надо помнить ещё один факт: если значения технического индикатора вычисляются по рекуррентной формуле (как в случае экспоненциальной скользящей средней), т.е. для нахождения значения индикатора на очередном баре используются значения этого индикатора на предыдущих барах, то становится важным, с какого бара мы начали выполнять вычисления и как выбрали начальные значения индикатора на самых левых барах на графике. Другими словами, существует некоторое время установления, в течение которого показания индикатора не следует принимать в расчёт, поскольку они сильно зависят от начальных условий. По мере продвижения по графику вправо влияние начальных условий уменьшается.


См. также: Вычисление экспоненциальной скользящей средней в Microsoft Excel (OpenOffice/LibreOffice Calc).


Использование скользящих средних

Скользящие средние входят в группу трендовых индикаторов, т.е. показывают наличие и направление тренда. Для идентификации тренда обычно используют следующие признаки:

  • Наклон скользящей средней (вверх, вниз, вбок). Например, если MA имеет заметный и постоянный наклон вниз, то это указывает на медвежий тренд. Если вверх — тренд бычий. Если у линии нет постоянного наклона, она колеблется то вверх, то вниз — боковой тренд (флет). Размах этих колебаний позволяет судить о ширине ценового коридора.
  • Положение группы подряд идущих свечей (баров) относительно скользящей средней. Если они над MA (независимо от её типа), то тренд бычий. Снизу — медвежий. По обе стороны — тренд отсутствует (флет).
  • Положение двух скользящих средних с разными периодами друг относительно друга. Если быстрая MA (с меньшим периодом) выше медленной (с большим периодом) — тренд бычий. Наоборот — медвежий. Если обе средние переплетены и часто пересекаются — флет.

Приведённые выше признаки перечислены в порядке от самого быстрого к более медленному (при прочих равных условиях). Например, цена пробьёт свою скользящую среднюю раньше, чем пересечётся пара скользящих средних (т.к. линейный график цены совпадает со скользящей средней, имеющей период 1).

  • Взаимное положение трёх скользящих средних. Если все три линии находятся в правильном порядке, это говорит о наличии тренда. Для восходящего (бычьего) тренда правильный порядок — когда самая быстрая линия (с наименьшим периодом) расположена выше двух других, а самая медленная (с наибольшим периодом) — ниже двух других. Линия с промежуточным периодом в этом случае находится где-то посередине. Для нисходящего (медвежьего) тренда — наоборот, быстрая линия должна быть внизу, а медленная — вверху. При боковом тренде правильный порядок нарушается и линии располагаются произвольно. Вместо трёх можно использовать бо́льшее количество скользящих средних.
  • Положение скользящей средней по отношению к конверту цен (ценовому коридору). Если MA проходит внутри конверта и достаточно далека от его границы — значит, тренд отсутствует. Если вблизи верхней границы конверта или, тем более, за пределами конверта выше его верхней границы — тренд нисходящий. Наоборот, если MA находится вблизи нижней границы конверта или ниже этой границы — тренд бычий. Технический индикатор конверт (envelope) будет рассмотрен позже.

Для надежного распознавания тренда рекомендуется совмещать несколько перечисленных признаков, а также проверять, есть ли подтверждение от других трендовых индикаторов.

Если трейдер обнаружил на графике наличие тренда — это ещё не означает, что он должен тут же открывать позицию. Для поиска наилучшей точки входа обычно применяют специальные методы.

Свойства скользящих средних

Скользящая средняя (не имеет значение, простая, взвешенная или экспоненциальная) является линейным преобразованием, т.е. скользящая средняя от ряда данных, образованного взвешенным суммированием других рядов, раскладывается на взвешенную сумму (с теми же коэффициентами) скользящих средних, рассчитанных по исходным рядам данных:

\[\text{MA} (a_1 \cdot P + a_2 \cdot R) = a_1\cdot\text{MA}(P) + a_2\cdot\text{MA}(R) .\]

Это значит, например, что скользящую среднюю, рассчитанную по медианным ценам (H+L)/2, можно представить в виде полусуммы двух скользящих средних, рассчитанных по максимумам и минимумам в отдельности. А скользящая средняя, рассчитанная по “типичным” ценам (H+L+C)/3, расписывается как среднее арифметическое трёх скользящих средних, рассчитанных по максимумам, минимумам и ценам закрытия.

Далее, скользящие средние подчиняются закону коммутативности:

\[\text{MA}^{(n_1)} (\text{MA}^{(n_2)} (P) ) = \text{MA}^{(n_2)} (\text{MA}^{(n_1)} (P) ) ,\]

т.е. при двойном усреднении ряда цен не имеет значения, какая скользящая средняя вычисляется первой, а какая — второй. Причём эти скользящие средние могут быть разного типа.

Аналогичное верно для любого количества усреднений.

Наконец, третье правило: скользящая средняя с периодом \(n\), рассчитанная для баров с таймфрема \(M\), примерно эквивалентна скользящей средней с периодом \(n/k\), рассчитанной для баров с таймфрейма \(M\cdot k\), где \(k\) — любое число. Например, скользящая средняя с периодом 100 для минутного графика — примерно совпадает со скользящей средней с периодом 20 для 5-минутного графика. Можно записать наоборот: скользящая средняя с периодом \(n\), рассчитанная для баров с таймфрема \(M\), примерно эквивалентна скользящей средней с периодом \(n\cdot k\), рассчитанной для баров с таймфрейма \(M/k\). Заметим, что речь не идёт о точном совпадении, поскольку при вычислении средней линии на младшем таймфрейме учитываются промежуточные значения цен, которые отсутствуют (спрятаны внутри бара) на старшем таймфрейме.

Скользящие средние для изменения цены

При вычислении скользящих средних любого типа усредняются це́ны за некоторый промежуток времени, т.е. подавляются те случайные колебания, период которых несколько раз укладывается в пределы полосы усреднения. Из школьного курса физики мы знаем, что любой реальный сигнал, в том и числе и график цены, можно представить в виде суммы синусоидальных колебаний кратной частоты (так называемых гармоник). Нулевая частота — это постоянная составляющая сигнала (горизонтальная линия, проведённая через среднее арифметическое всех цен за рассматриваемый период времени). Первая гармоника сигнала (основная) — синусоида некоторой частоты, которая больше других представлена в исходном сигнале. Вторая гармоника — синусоида частоты, которая в два раза больше основной. Третья гармоника — синусоида с частотой, которая в три раза больше основной и т.д. Чем больше гармоник мы сложим, тем точнее воспроизведём исходный сигнал.

Набор этих колебаний-гармоник называются спектром сигнала. Если сигнал совсем не похож на периодический (т.е. на нём не прослеживаются равноотстоящие друг от друга максимумы и минимумы), то частота основной гармоники получается совсем маленькой, в результате частоты всех остальных гармоник отстоят друг от друга на небольшую величину. Такие сигналы имеют богатый спектр: чтобы их воспроизвести без существенных искажений, требуется сложить большое число синусоид. Сигналы, более похожие на периодическое колебание, имеют бедный спектр, т.е. состоят из малого числа гармоник.

Индикатор скользящая средняя работает в качестве фильтра низких частот: в результате вычисления среднего значения по нескольким соседним свечам отфильтровываются (подавляются) высокочастотные гармоники сигнала. Остаётся постоянная составляющая и колебания вокруг неё, имеющие небольшую частоту.

Но во время торговли нам не важна постоянная составляющая (если только мы не анализируем на истории какие-либо значимые уровни). Нас больше всего интересует изменение цены, поскольку именно на этом изменении мы собираемся заработать. Поэтому было бы хорошо вместе с высокими частотами отфильтровать также и постоянную составляющую цены. Для этого потребуется разработать и подключить к торговому терминалу специальный индикатор. Но есть и более простой способ: если мы используем терминал MetaTrader 4/5 или NinjaTrader 7, то можно вывести график обычной скользящей средней в отдельном окне (как, например, MACD или стохастик). Тогда кривая индикатора будет автоматически промасштабирована таким образом, чтобы в окне индикатора поместился весь график. Другими словами, постоянная составляющая сигнала никак не повлияет на смещение графика индикатора по вертикали, что нам и требовалось. Но к сигналу индикатора будет добавлена произвольная постоянная составляющая, зависящая от ширины окна (вернее, от размаха того участка графика, который в эту ширину попал), что доставляет некоторые трудности.

Такие скользящие средние будем называть дифференциальными, т.к. они зависят от изменения цены.

На рис.9 показаны пять экспоненциальных скользящих средних с периодами 5, 13, 21, 35, 51, которые построены, как обычно, на графике цены, а ниже — те же скользящие средние, но в отдельном окне. Допустим, наша торговая система заключается в том, что мы покупаем, когда быстрая EMA(5) пересечёт медленную EMA(51) снизу вверх. И продаём, если пересечение сверху вниз. Пересечение этих (и любых других) скользящих средних в отдельном окне происходит на несколько свечей раньше, чем пересечение обычных EMA, т.е. нам удалось ослабить один из основных недостатков скользящих средних — их запаздывание. Обычно этого удаётся достичь существенным уменьшением периода усреднения, но тогда резко возрастает число ложных сигналов. А мы достигли того же результата, просто подавив постоянную составляющую сигнала, при этом число ложных пересечений несколько увеличилось, но не так сильно, как при использовании скользящих средних с малым периодом.

../_images/DMA-01.png

Рис. 9. Сравнение дифференциальных скользящих средних с обычными

Двойная экспоненциальная скользящая средняя (DEMA)

Двойная экспоненциальная скользящая средняя (Double Exponential Moving Average, DEMA) — попытка уменьшить время задержки, присущее экспоненциальной (и любой другой) скользящей средней.

Патрик Мюллой (Patrick Mulloy) в 1994 году в своей статье “Smoothing Data with Faster Moving Averages”, опубликованной в февральском номере журнала “Technical Analysis of Stocks & Commodities”, предложил следующую формулу:

\[\text{DEMA}_t (n) = 2\cdot\text{EMA}_t - \text{EMA}_t (\text{EMA}) .\]

Другими словами, мы от удвоенного значения экспоненциальной скользящей средней отнимаем значение экспоненциальной скользящей средней (с тем же периодом), построенной не по ценам закрытия, как обычно, а по значениям такой же экспоненциальной скользящей средней (т.е. используем двойное сглаживание). Задержка разницы этих средних оказывается меньше, чем задержка каждой средней в отдельности.

Приведённая формула может быть получена в результате следующего рассуждения. Рассмотрим ошибку — разницу между ценой закрытия и экспоненциальной скользящей средней,построенной по ценам закрытия:

\[E_t (n) = p_t - \text{EMA}_t (n) .\]

Усредним ряд этих ошибок с помощью экспоненциальной скользящей средней, имеющей тот же период:

\[\text{EMA}_t (E, n) = \frac{2}{n+1} \cdot E_i + \left(1 - \frac{2}{n+1}\right)\cdot\text{EMA}_{t-1} (E, n) .\]

Теперь, чтобы уменьшить величину ошибок \(E_t\), прибавим сглаженный ряд ошибок к значениям обычной экспоненциальной скользящей средней:

\[\text{DEMA}_t (n) = \text{EMA}_t (n) + \text{EMA}_t (E, n) .\]

В результате после несложных преобразований получим вышеприведённую формулу для вычисления DEMA:

\[\text{DEMA}_t (n) = \text{EMA}_t + \text{EMA}_t (p - \text{EMA}) = \text{EMA}_t + \text{EMA}_t - \text{EMA}_t (\text{EMA}) = 2\cdot\text{EMA}_t - \text{EMA}_t(\text{EMA}) .\]

Тройная экспоненциальная скользящая средняя (TEMA)

Тройная экспоненциальная скользящая средняя (Triple Exponential Moving Average, TEMA) — ещё одно изобретение Патрика Мюллоя:

\[\text{TEMA}_t (n) = 3\cdot\text{EMA}_t - 3\cdot\text{EMA}_t (\text{EMA}) + \text{EMA}_t ( \text{EMA} (\text{EMA}) ) .\]

Переменная скользящая средняя (VMA)

Переменная скользящая средняя (Variable Moving Average, VMA) — это обычная экспоненциальная скользящая средняя

\[\text{EMA}_t ( \alpha ) = \alpha \cdot p_t + (1 - \alpha)\cdot\text{EMA}_{t-1} ,\]

в которой параметр сглаживания \(\alpha\) регулируется автоматически, в зависимости от волатильности ценовых данных. Чем волатильность выше, тем чувствительнее постоянная сглаживания, используемая для расчета. Чувствительность повышается за счет присваивания большего веса текущим данным.

Индикатор VMA описан в статье Тушара Чанда (Tushar Chande), опубликованной в мартовском номере журнала “Technical Analysis of Stocks and Commodities” за 1992 год.

В стандартном варианте коэффициент \(\alpha\) вычисляется по формуле

\[\alpha = 0.078 \cdot \text{VR} ,\]

где \(\text{VR}\)коэффициент волатильности (Volatility Ratio).

Коэффициент волатильности может определяться различными способами, например, с помощью индикатора VHF(12).

Сглаженная скользящая средняя (SmMA)

Сглаженная скользящая средняя (Smoothed Moving Averages, SmMA)

На рис.10 на часовках валютной пары GBP/USD показаны для сравнения четыре скользящие средние с периодом 20: простая (SMA), экспоненциальная (EMA), линейно-взвешенная (LWMA) и сглаженная (SmMA).

../_images/SMA_EMA_SmMA_LWMA20.png

Рис. 10. Четыре скользящие средние с периодом 20: простая (SMA), экспоненциальная (EMA), линейно-взвешенная (LWMA) и сглаженная (SmMA)

Нетрудно видеть, что SmMA оказалась самой медленной из них, а LWMA — самой быстрой; EMA несколько отстаёт от LWMA; простая SMA отстаёт от экспоненциальной EMA, но оказалась быстрее, чем сглаженная SmMA.

Тем не менее, надо понимать, что недостаток бо́льшего запаздывания компенсируется уменьшением ложных колебаний.

Аллигатор Билла Вильямса

Аллигатор (Alligator) Билла Вильямса (Bill Williams) представляет собой набор трёх сглаженных (smoothed) скользящих средних, построенных по медианным ценам (High+Low)/2:

  • сглаженная скользящая средняя с периодом 13, смещённая на 8 баров вправо (синяя линия — челюсть аллигатора);
  • сглаженная скользящая средняя с периодом 8, смещённая на 5 баров вправо (красная линия — зубы аллигатора);
  • сглаженная скользящая средняя с периодом 5, смещённая на 3 бара вправо (зелёная линия — губы аллигатора).

SWMA

Sine-Weighted Moving Average

Least Squares Moving Average

Timeseries Moving Average

TRIX

Triple Exponential Moving Average

Скользящая средняя Уэллса Уайлдера (WWMA)

Скользящая средняя Уэллса Уайлдера (Welles Wilder’s Moving Average, WWMA) рассчитывается по формуле

\[\text{WWMA}_t ( n ) = \frac{1}{n}\cdot p_t + \frac{n-1}{n}\cdot\text{WWMA}_{t-1} .\]

Нетрудно видеть, что \(\text{WWMA}(n)\) полностью эквивалентна EMA с параметром \(\alpha = 1/n\), т.е. \(\text{WWMA}(n) = \text{EMA}(2 n - 1)\).

ZEMA

Zero Lag Exponential Moving Average

EPMA

VWMA

Volume-Weigthed Moving Average

EVWMA

Адаптивная скользящая средняя Кауфмана

KAMA

Jurik Moving Average (JMA)

JMA

MAMA

FAMA

REMA

Скользящая средняя Халла (HMA)

Скользящая средняя Тома Демарка

Ссылки


Теги: Технический анализ




Комментарии

Комментариев пока нет.

* Обязательные поля
(Не публикуется)
 
Жирный Курсив Подчеркнутый Перечеркнутый Степень Индекс Код PHP Код Кавычки Вставить линию Вставить маркированный список Вставить нумерованный список Вставить ссылку Вставить e-mail Вставить изображение Вставить видео
 
Улыбка Печаль Удивление Смех Злость Язык Возмущение Ухмылка Подмигнуть Испуг Круто Скука Смущение Несерьёзно Шокирован
 
1000
Captcha
Refresh
 
Введите код:
 
Запомнить информацию введенную в поля формы.